Quantitative Aptitude (SSC Maths Full Course)

🧪 मिश्रण और मिश्रण का नियम (Mixture & Alligation): घोलने और मिलाने की कला!

अलग-अलग चीज़ों को मिलाकर बनाएँ सही संतुलन, कम समय में करें गणना!

क्या आपने कभी सोचा है कि एक चाय वाला अलग-अलग तरह की पत्तियों को मिलाकर एक खास स्वाद कैसे बनाता है? या, एक जौहरी अलग-अलग शुद्धता के सोने को मिलाकर एक नया आभूषण कैसे बनाता है? पेट्रोल पंप पर पेट्रोल और इथेनॉल का मिश्रण कैसे तैयार होता है? इन सब सवालों का जवाब छुपा है **'मिश्रण और मिश्रण का नियम' (Mixture & Alligation)** में! यह सिर्फ गणित का एक अध्याय नहीं, बल्कि रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र, और यहाँ तक कि खानपान उद्योगों में भी 'अनुपात' और 'औसत' के सिद्धांतों को समझने का एक व्यावहारिक और कुशल तरीका है।

Have you ever wondered how a tea vendor mixes different types of leaves to create a special flavor? Or how a jeweler combines gold of varying purities to make a new ornament? How is a mixture of petrol and ethanol prepared at a fuel station? The answer to all these questions lies in **'Mixture & Alligation'**! This is not just a chapter in mathematics, but a practical and efficient way to understand the principles of 'ratio' and 'average' in chemistry, economics, and even the food industry.

SSC, बैंकिंग, रेलवे, बीमा और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में **मिश्रण और मिश्रण का नियम** से जुड़े सवाल अक्सर पूछे जाते हैं। यह अध्याय सीधे तौर पर **अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion)** और **औसत (Average)** के सिद्धांतों पर आधारित है, जिन्हें हमने अपने पिछले मॉड्यूल्स में समझा है। हम आपको सिर्फ 'मिश्रण' बनाना नहीं सिखाएंगे, बल्कि उस शक्तिशाली **'एलिगेशन नियम' (Alligation Rule)** पर ध्यान केंद्रित करवाएंगे जो आपको दो या दो से अधिक अलग-अलग प्रकार की चीज़ों को मिलाकर एक निश्चित औसत प्राप्त करने वाले चुनौतीपूर्ण सवालों को भी **कम समय में ज़्यादा सटीकता (speed and accuracy)** के साथ हल करने में मदद करेगा। हमारा लक्ष्य आपको 'केवल फ़ॉर्मूलों से आगे' जाकर 'वैचारिक स्पष्टता' (conceptual clarity) देना है, ताकि आप किसी भी मिश्रण की समस्या को एक नए और प्रभावी नज़रिए से देख सकें।

1. मूलभूत अवधारणाएँ: मिश्रण और उसके घटक (Fundamental Concepts: Mixture and its Components)

'मिश्रण और मिश्रण का नियम' को समझने के लिए कुछ बुनियादी बातें जानना ज़रूरी हैं:
To understand 'Mixture & Alligation', it's essential to know some basic concepts:

• मिश्रण (Mixture): दो या दो से अधिक शुद्ध या मिश्रित पदार्थों को एक साथ मिलाने पर बनने वाला नया पदार्थ। जैसे दूध और पानी का मिश्रण, शराब और पानी का मिश्रण, अलग-अलग दालों का मिश्रण, आदि।
  (A new substance formed by combining two or more pure or mixed substances. For example, a mixture of milk and water, a mixture of alcohol and water, a mixture of different pulses, etc.)
• घटक (Components): वे शुद्ध पदार्थ या प्रारंभिक मिश्रण जिन्हें मिलाकर एक नया मिश्रण बनाया जाता है।
  (The pure substances or initial mixtures that are combined to form a new mixture.)
• मात्रा (Quantity): प्रत्येक घटक की वह मात्रा (लीटर, किलोग्राम, आदि) जिसे मिश्रण में मिलाया जाता है।
  (The amount (liters, kilograms, etc.) of each component that is added to the mixture.)
• औसत मान/मूल्य (Average Value/Cost): मिश्रण का प्रति इकाई मूल्य या मिश्रण में किसी विशेष घटक की सांद्रता (जैसे दूध का प्रतिशत)। यह दो या दो से अधिक घटकों को मिलाने के बाद प्राप्त 'माध्य' (Mean) होता है।
  (The per-unit value of the mixture or the concentration of a specific component in the mixture (e.g., percentage of milk). This is the 'mean' obtained after combining two or more components.)

मिश्रण में घटकों का अनुपात (Ratio of Components in a Mixture):

• मिश्रण में घटकों की मात्रा उनके अनुपात में होती है।
  (The quantities of components in a mixture are in their respective ratios.)
  उदाहरण: यदि 60 लीटर दूध और पानी के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3:2 है, तो दूध की मात्रा = (3/(3+2)) * 60 = 36 लीटर, और पानी की मात्रा = (2/(3+2)) * 60 = 24 लीटर।
  (Example: If in a 60-liter mixture of milk and water, the ratio of milk to water is 3:2, then the quantity of milk = (3/(3+2)) * 60 = 36 liters, and the quantity of water = (2/(3+2)) * 60 = 24 liters.)

2. मिश्रण का नियम (Alligation Rule): दो को एक बनाने का रहस्य!

मिश्रण का नियम, जिसे अक्सर 'एलिगेशन नियम' कहा जाता है, एक बहुत शक्तिशाली ग्राफिक विधि है जिसका उपयोग दो या दो से अधिक विभिन्न मूल्यों (जैसे मूल्य, प्रतिशत, गति आदि) वाले घटकों को एक निश्चित औसत मूल्य वाला मिश्रण बनाने के लिए किस अनुपात में मिलाया जाए, यह ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
The Rule of Alligation, often called the 'Alligation Rule', is a very powerful graphical method used to find the ratio in which two or more components with different values (such as cost, percentage, speed, etc.) should be mixed to obtain a mixture with a desired average value.

एलिगेशन नियम की संरचना (Structure of the Alligation Rule):

• मान लीजिए दो प्रकार के घटकों (A और B) के प्रति इकाई मूल्य (या सांद्रता, प्रतिशत, आदि) क्रमशः C1 और C2 हैं।
  (Suppose the per-unit values (or concentrations, percentages, etc.) of two types of components (A and B) are C1 and C2 respectively.)
• इन दोनों को मिलाकर एक मिश्रण बनाया जाता है जिसका औसत मूल्य (या सांद्रता, आदि) Cm है।
  (These two are mixed to form a mixture with an average value (or concentration, etc.) of Cm.)
• Cm हमेशा C1 और C2 के बीच होना चाहिए (अर्थात, C1 < Cm < C2 या C2 < Cm < C1)।
  (Cm must always be between C1 and C2 (i.e., C1 < Cm < C2 or C2 < Cm < C1).)
• **नियम का ग्राफिक प्रतिनिधित्व:**
  (Graphical Representation of the Rule:)

        C1 ( सस्ता )         C2 ( महंगा )
           \              /
            \            /
             \          /
              ---- Cm ----   ( औसत मूल्य )
             /          \
            /            \
           /              \
       (C2 - Cm)    :     (Cm - C1)
       (मात्रा B)     (मात्रा A)
  
        => मात्रा A : मात्रा B = (C2 - Cm) : (Cm - C1)
              

  
  यह अनुपात उन मात्राओं का होगा जिनमें घटकों को मिलाया गया है। यह विधि तब लागू होती है जब आप दो अलग-अलग गुणों वाले घटकों को मिलाकर एक औसत गुण वाला मिश्रण बनाते हैं।
  (This ratio will be of the quantities in which the components are mixed. This method applies when you mix two components with different properties to form a mixture with an average property.)

एलिगेशन नियम कहाँ लागू करें? (Where to Apply the Alligation Rule?):

• जब दो अलग-अलग दरों पर दो चीजों को मिलाया जाता है और आपको मिश्रण की औसत दर दी गई हो, तो आप उन चीजों की मात्रा का अनुपात ज्ञात कर सकते हैं।
  (When two things are mixed at two different rates and you are given the average rate of the mixture, you can find the ratio of the quantities of those things.)
• यह गति और दूरी (Average Speed), लाभ और हानि (Average Profit/Loss Percentage), प्रतिशत (Average Percentage) आदि जैसे विषयों में भी लागू होता है, जब आप दो समूहों को मिलाकर एक औसत मान प्राप्त करते हैं।
  (It also applies in topics like Speed and Distance (Average Speed), Profit and Loss (Average Profit/Loss Percentage), Percentage (Average Percentage), etc., when you combine two groups to get an average value.)

3. समस्याओं के प्रकार और समाधान रणनीतियाँ (Types of Problems and Solution Strategies)

'मिश्रण और मिश्रण का नियम' से जुड़े सवाल कई रूपों में आ सकते हैं। आइए कुछ प्रमुख प्रकारों को देखें:
Questions related to 'Mixture & Alligation' can come in various forms. Let's look at some major types:

• मूलभूत मिश्रण प्रश्न (Basic Mixture Problems):
  दो घटकों को मिलाकर एक नया मिश्रण बनाना और उसमें घटकों का अनुपात या मात्रा ज्ञात करना।
  (Creating a new mixture by combining two components and finding the ratio or quantity of components in it.)
  रणनीति: सीधे अनुपातों को जोड़ें या घटाएँ। यदि मात्राएँ दी गई हैं, तो उन्हें कुल मिश्रण की मात्रा में जोड़ दें।
• एलिगेशन नियम का सीधा अनुप्रयोग (Direct Application of Alligation Rule):
  जब दो अलग-अलग प्रकार की दालों/चावल/तरल पदार्थों को मिलाया जाता है और मिश्रण का औसत मूल्य/सांद्रता दी गई हो।
  (When two different types of pulses/rice/liquids are mixed and the average price/concentration of the mixture is given.)
  रणनीति: ऊपर बताई गई एलिगेशन नियम की ग्राफिक विधि का उपयोग करें। यह आपको सीधे मात्राओं का अनुपात देगा।
• पानी या कोई अन्य घटक मिलाना (Adding Water or Another Component):
  जब दूध-पानी के मिश्रण में केवल पानी मिलाया जाए, या शराब-पानी के मिश्रण में केवल शराब मिलाई जाए।
  (When only water is added to a milk-water mixture, or only alcohol is added to an alcohol-water mixture.)
  रणनीति: उस घटक पर ध्यान दें जिसकी मात्रा नहीं बदली है। एलिगेशन नियम का उपयोग करते समय, जोड़े गए घटक का 'दूसरा' मूल्य 0% (यदि पानी मिलाया जा रहा है तो शुद्ध पानी में दूध 0%) या 100% (यदि शुद्ध घटक मिलाया जा रहा है) हो सकता है।
• निकालना और बदलना (Removal and Replacement):
  जब एक निश्चित मात्रा में मिश्रण निकाला जाता है और उसकी जगह उतनी ही मात्रा में शुद्ध तरल या कोई अन्य मिश्रण मिलाया जाता है। यह प्रक्रिया एक या कई बार दोहराई जा सकती है।
  (When a certain quantity of mixture is removed and replaced by the same quantity of pure liquid or another mixture. This process can be repeated one or multiple times.)
  रणनीति:
  अंतिम मात्रा / प्रारंभिक मात्रा = (1 - (निकाली गई मात्रा / कुल मात्रा)) ^ n
  (Final Quantity / Initial Quantity = (1 - (Removed Quantity / Total Quantity)) ^ n)
  जहाँ n = दोहराव की संख्या। यह अक्सर शुद्ध घटक की अंतिम मात्रा निकालने में मदद करता है।
• तीन या अधिक घटकों का मिश्रण (Mixing Three or More Components):
  जब दो से अधिक घटकों को मिलाया जाता है।
  (When more than two components are mixed.)
  रणनीति: आप दो घटकों पर एलिगेशन नियम लागू कर सकते हैं, फिर परिणामी मिश्रण को तीसरे घटक के साथ मिला सकते हैं। या, यदि औसत मान दिया गया है, तो अनुपात विधि का उपयोग करके विभिन्न घटकों की मात्राओं को 'मानकर' हल कर सकते हैं।

4. उन्नत रणनीतियाँ और 'स्पीड-एन्हांसिंग' ट्रिक्स (Advanced Strategies & 'Speed-Enhancing' Tricks)

'मिश्रण और मिश्रण का नियम' में महारत हासिल करने के लिए, आपको कुछ विशेष रणनीतियों पर ध्यान देना होगा जो आपको तेज़ी से उत्तर तक पहुँचाएँगी:
To master 'Mixture & Alligation', you need to focus on some specific strategies that will lead you to the answer quickly:

• **अनुपात विधि का सर्वव्यापी उपयोग (Universal Use of Ratio Method):**
  एलिगेशन नियम स्वयं एक अनुपात विधि है। इसके अलावा, जब मिश्रण में किसी एक घटक की मात्रा नहीं बदल रही हो, तो उस घटक के अनुपात को समान करके सवाल हल करें।
  उदाहरण: दूध-पानी के मिश्रण में पानी मिलाया। दूध की मात्रा नहीं बदली, तो दूध के अनुपात को समान करें।
  (The Alligation Rule itself is a ratio method. Furthermore, when the quantity of one component in the mixture does not change, solve the problem by equating the ratio of that component. Example: Water added to a milk-water mixture. The quantity of milk did not change, so equate the ratio of milk.)
• **प्रतिशत मानों के साथ काम करना (Working with Percentage Values):**
  जब सांद्रता या शुद्धता प्रतिशत में दी गई हो, तो एलिगेशन नियम का उपयोग सीधा करें।
  जैसे: 20% दूध और 50% दूध वाले दो मिश्रणों को मिलाकर 30% दूध वाला मिश्रण बनाना।

        20%           50%
         \            /
          \          /
           --- 30% ---
          /          \
         /            \
        (50-30) : (30-20)
         20     :   10
          2     :    1
              

  
  (When concentration or purity is given in percentages, apply the Alligation Rule directly.)
• **शून्य प्रतिशत या 100 प्रतिशत मानों का उपयोग (Using 0% or 100% Values):**
  यदि आप किसी मिश्रण में शुद्ध पानी मिलाते हैं, तो पानी में दूसरे घटक (जैसे दूध) का प्रतिशत 0% होगा। यदि आप शुद्ध दूध मिलाते हैं, तो उसका प्रतिशत 100% होगा। यह एलिगेशन नियम में बहुत काम आता है। << (If you add pure water to a mixture, the percentage of the other component (e.g., milk) in water will be 0%. If you add pure milk, its percentage will be 100%. This is very useful in the Alligation Rule.)
• **'प्रति-इकाई मूल्य' विधि (Value Per Unit Method):**
  जब अलग-अलग कीमतों वाली वस्तुएँ मिलाई जाएं, तो एलिगेशन नियम आपको प्रति किलोग्राम/लीटर की मात्रा का अनुपात देगा।
  (When items of different prices are mixed, the Alligation Rule will give you the ratio of quantities per kilogram/liter.)
• **विकल्पों का बुद्धिमानी से उपयोग (Intelligent Use of Options):**
  कई बार, विशेष रूप से जब अनुपात या अंतिम मात्रा ज्ञात करनी हो, तो दिए गए विकल्पों में से किसी एक को चुनकर प्रश्न में 'प्लग' करें और जांचें कि क्या यह शर्तों को पूरा करता है। यह एक त्वरित तरीका हो सकता है।
  (Often, especially when finding ratios or final quantities, choose one of the given options, 'plug' it into the question, and check if it satisfies the conditions. This can be a quick method.)

अभ्यास प्रश्न (Practice Problems)

इन प्रश्नों का अभ्यास करके आप 'मिश्रण और मिश्रण का नियम' में अपनी गति और सटीकता बढ़ाएँ। एलिगेशन नियम और अनुपात विधि का अधिकतम उपयोग करने का प्रयास करें।
Practice these problems to increase your speed and accuracy in 'Mixture & Alligation'. Try to maximize the use of the Alligation Rule and the ratio method.

1. ₹60 प्रति किलोग्राम वाली चीनी को ₹45 प्रति किलोग्राम वाली चीनी के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण का मूल्य ₹52 प्रति किलोग्राम हो जाए?
   (In what ratio should sugar at ₹60 per kg be mixed with sugar at ₹45 per kg so that the price of the mixture becomes ₹52 per kg?)
2. एक बर्तन में दूध और पानी का 60 लीटर मिश्रण है जिसमें दूध और पानी का अनुपात 3:1 है। यदि मिश्रण में 10 लीटर पानी और मिलाया जाए, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?
   (A vessel contains 60 liters of a mixture of milk and water in the ratio 3:1. If 10 liters of water are added to the mixture, what will be the ratio of milk to water in the new mixture?)
3. 40 लीटर दूध और पानी के मिश्रण में 10% पानी है। इसमें कितना शुद्ध दूध मिलाया जाए ताकि पानी का प्रतिशत 5% हो जाए?
   (A 40-liter mixture of milk and water contains 10% water. How much pure milk should be added to it so that the percentage of water becomes 5%?)
4. एक बर्तन से 40 लीटर दूध निकाला जाता है और उसकी जगह पानी भर दिया जाता है। यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। यदि बर्तन में अब 81 लीटर दूध बचा है और बर्तन की कुल क्षमता 100 लीटर है, तो शुरुआत में बर्तन में कितना दूध था?
   (40 liters of milk are drawn from a vessel and it is filled with water. This process is repeated one more time. If the vessel now contains 81 liters of milk and the total capacity of the vessel is 100 liters, what was the initial quantity of milk in the vessel?)
5. एक दुकानदार के पास दो किस्म के चावल हैं, जिनकी कीमत ₹25 प्रति किलोग्राम और ₹35 प्रति किलोग्राम है। यदि वह इन दोनों किस्मों को मिलाकर ₹32 प्रति किलोग्राम पर बेचकर 10% लाभ कमाना चाहता है, तो उसे इन चावलों को किस अनुपात में मिलाना चाहिए?
   (A shopkeeper has two varieties of rice, costing ₹25 per kg and ₹35 per kg. If he wants to sell the mixture of these two varieties at ₹32 per kg, making a profit of 10%, in what ratio should he mix these varieties of rice?)

✅ सारांश (Summary)

इस व्यापक मॉड्यूल में, हमने **मिश्रण और मिश्रण का नियम (Mixture & Alligation)** के हर महत्वपूर्ण पहलू को विस्तार से समझा है। हमने सीखा कि मिश्रण क्या होते हैं, उनके घटक क्या होते हैं, और सबसे महत्वपूर्ण, हमने शक्तिशाली 'एलिगेशन नियम' को गहराई से समझा कि इसे कैसे लागू किया जाता है। हमने विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को हल करने की रणनीतियों पर भी चर्चा की, जिसमें पानी मिलाना, निकालना और बदलना, और तीन या अधिक घटकों के मिश्रण शामिल हैं।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि हमने आपको केवल फॉर्मूले नहीं दिए। हमने आपको उन **'स्मार्ट तकनीकों' (smart techniques)** पर ध्यान केंद्रित करना सिखाया है जैसे अनुपात विधि का सर्वव्यापी उपयोग, प्रतिशत मानों के साथ काम करना, और शून्य/100 प्रतिशत मानों का लाभ उठाना। ये ही वो तरीके हैं जो आपको किसी भी प्रतियोगी परीक्षा में **कम समय में अधिक सटीकता (more accuracy in less time)** के साथ प्रश्नों को हल करने में मदद करेंगे।

'मिश्रण और मिश्रण का नियम' में महारत हासिल करना आपकी क्वांटिटेटिव एप्टीट्यूड की तैयारी के लिए एक महत्वपूर्ण कदम है। यह अध्याय न केवल आपको संख्याओं के साथ खेलना सिखाएगा, बल्कि आपको वास्तविक दुनिया की समस्याओं को 'स्मार्ट' तरीके से सोचने और हल करने की शक्ति देगा। इस मॉड्यूल में सीखे गए कॉन्सेप्ट्स और ट्रिक्स का नियमित अभ्यास करें। आपकी निरंतरता ही आपको सफलता दिलाएगी!