Quantitative Aptitude (SSC Maths Full Course)

समीकरण: रैखिक और द्विघात (Linear & Quadratic Equations)

रैखिक समीकरण (Linear Equations) और द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) बीजगणित के आधारभूत स्तंभ हैं और SSC तथा अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में इनसे संबंधित प्रश्न नियमित रूप से पूछे जाते हैं। इन समीकरणों को समझना और हल करना केवल बीजगणित के लिए ही नहीं, बल्कि विभिन्न प्रकार की शाब्दिक समस्याओं (word problems) को हल करने के लिए भी आवश्यक है।

Linear Equations and Quadratic Equations are fundamental pillars of Algebra, and questions related to them are regularly asked in SSC and other competitive exams. Understanding and solving these equations is essential not only for Algebra itself but also for tackling various types of word problems.

इस अध्याय में, हम रैखिक और द्विघात समीकरणों के प्रकारों, उन्हें हल करने की विभिन्न विधियों, मूलों की प्रकृति (nature of roots) और उनके गुणांकों (coefficients) के साथ संबंधों का विस्तृत अध्ययन करेंगे।
In this chapter, we will study in detail the types of linear and quadratic equations, various methods to solve them, the nature of roots, and their relationships with coefficients.

1. Linear Equations (रैखिक समीकरण)

एक रैखिक समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें चर (variables) की अधिकतम घात (power) $1$ होती है।
A linear equation is an equation in which the highest power of the variable(s) is $1$.

• एक चर में रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable):
  Standard form: $ax + b = 0$, जहाँ $a \neq 0$. इसका केवल एक हल होता है।
  Example: $3x - 7 = 5 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$.
• दो चरों में रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables):
  Standard form: $ax + by + c = 0$. इसे हल करने के लिए कम से कम दो ऐसे समीकरणों की आवश्यकता होती है।
  Example: $x + y = 5$ और $2x - y = 4$.

दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करने की विधियाँ (Methods to Solve Linear Equations in Two Variables)

• a) Substitution Method (प्रतिस्थापन विधि):
  1. एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में व्यक्त करें।
  2. इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
  3. एक चर में एक रैखिक समीकरण प्राप्त होगा जिसे हल किया जा सकता है।

  Example (उदाहरण): $x+y=7$ (1) और $x-y=3$ (2)

  समीकरण (2) से: $x = 3+y$.
  इसे समीकरण (1) में रखने पर: $(3+y) + y = 7 \Rightarrow 3+2y=7 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$.
  $y=2$ को $x=3+y$ में रखने पर: $x=3+2=5$.
  Solution: $x=5, y=2$.

• b) Elimination Method (विलोपन विधि):
  1. किसी एक चर के गुणांकों को समान बनाने के लिए समीकरणों को उपयुक्त संख्या से गुणा करें।
  2. समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ ताकि एक चर विलुप्त हो जाए।
  3. शेष चर का मान ज्ञात करें और फिर दूसरे चर का मान ज्ञात करें।

  Example (उदाहरण): $x+y=7$ (1) और $x-y=3$ (2)

  समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: $(x+y) + (x-y) = 7+3 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5$.
  $x=5$ को समीकरण (1) में रखने पर: $5+y=7 \Rightarrow y=2$.
  Solution: $x=5, y=2$.

• c) Cross-Multiplication Method (वज्रगुणन विधि):
  For equations $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ and $a_2x + b_2y + c_2 = 0$:
  $x = \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$, $y = \frac{c_1a_2 - c_2a_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

Conditions for Solvability (हल की शर्तें) - Two Variables

दो रैखिक समीकरणों के युग्म के हल की संख्या उनके गुणांकों के अनुपात पर निर्भर करती है।
The number of solutions for a pair of linear equations depends on the ratio of their coefficients.

• Unique Solution (अद्वितीय हल): $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)
• No Solution (कोई हल नहीं): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (रेखाएँ समानांतर होती हैं)
• Infinitely Many Solutions (अनंत हल): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (रेखाएँ संपाती होती हैं)

2. Quadratic Equations (द्विघात समीकरण)

एक द्विघात समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें चर की अधिकतम घात $2$ होती है।
A quadratic equation is an equation in which the highest power of the variable is $2$.

• Standard Form (मानक रूप): $ax^2 + bx + c = 0$, जहाँ $a \neq 0$.
• एक द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल (roots) या हल होते हैं (जो वास्तविक या काल्पनिक हो सकते हैं)।
• A quadratic equation always has two roots or solutions (which can be real or imaginary).

द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ (Methods to Solve Quadratic Equations)

• a) Factorization Method (गुणनखंड विधि):
  मध्य पद को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करें कि उनका योग मध्य पद के बराबर हो और उनका गुणनफल पहले और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर हो।
  Split the middle term ($bx$) into two terms such that their sum is $bx$ and their product is $acx^2$.

  Example (उदाहरण): $x^2 - 5x + 6 = 0$

  $x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$
  $x(x-2) - 3(x-2) = 0$
  $(x-2)(x-3) = 0$
  So, $x=2$ or $x=3$.

• b) Quadratic Formula (द्विघात सूत्र):
  यह विधि किसी भी द्विघात समीकरण के लिए हमेशा काम करती है।
  This method always works for any quadratic equation.
  For $ax^2+bx+c=0$, the roots are given by: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  Example (उदाहरण): $2x^2 - 7x + 3 = 0$

  Here $a=2, b=-7, c=3$.
  $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)}$
  $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$
  So, $x = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$ or $x = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = 1/2$.

Nature of Roots (मूलों की प्रकृति)

मूलों की प्रकृति विविक्तकर (Discriminant) $D = b^2 - 4ac$ पर निर्भर करती है।
The nature of roots depends on the Discriminant $D = b^2 - 4ac$.

• यदि $D > 0$: मूल वास्तविक (real) और भिन्न (distinct) होते हैं।
• यदि $D = 0$: मूल वास्तविक (real) और समान (equal) होते हैं।
• यदि $D < 0$: मूल काल्पनिक (imaginary) होते हैं।

Relationship Between Roots and Coefficients (मूलों और गुणांकों के बीच संबंध)

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं, तो:
If $\alpha$ and $\beta$ are the roots of the equation $ax^2+bx+c=0$, then:

• मूलों का योग (Sum of roots): $\alpha + \beta = -b/a$
• मूलों का गुणनफल (Product of roots): $\alpha \beta = c/a$
• एक समीकरण बनाना जिसके मूल दिए गए हों (Forming a quadratic equation from given roots): $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

3. Word Problems (शाब्दिक समस्याएं)

कई बार, समीकरण सीधे नहीं दिए जाते हैं; आपको उन्हें शाब्दिक समस्या से बनाना होता है। इन समस्याओं को ध्यान से पढ़ें और चरों को परिभाषित करें।
Often, equations are not given directly; you have to form them from a word problem. Read these problems carefully and define the variables.

• संख्याओं पर आधारित प्रश्न (Problems based on numbers)
• आयु पर आधारित प्रश्न (Problems based on ages)
• दूरी, समय और गति पर आधारित प्रश्न (Problems based on distance, time and speed)
• कार्य और समय पर आधारित प्रश्न (Problems based on work and time)
• ज्यामिति पर आधारित प्रश्न (Problems based on geometry)

अभ्यास प्रश्न (Practice Problems)

इन प्रश्नों का अभ्यास करें ताकि रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने में आपकी दक्षता बढ़े।
Practice these problems to enhance your proficiency in solving linear and quadratic equations.

1. निम्न समीकरणों को हल कीजिए (Solve the following equations):
   $3x + 4y = 10$
   $2x - 2y = 2$
2. उस द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए जिसके मूलों का योग $10$ और गुणनफल $21$ है।
   Find the quadratic equation whose sum of roots is $10$ and product of roots is $21$.
3. यदि समीकरण $x^2 + kx + 4 = 0$ के मूल समान हैं, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
   If the roots of the equation $x^2 + kx + 4 = 0$ are equal, find the value of $k$.
4. दो संख्याओं का योग $20$ है और उनका गुणनफल $96$ है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
   The sum of two numbers is $20$ and their product is $96$. Find the numbers.
5. एक नाव की गति शांत जल में $18$ किमी/घंटा है। यदि यह धारा के प्रतिकूल $24$ किमी जाने में, धारा के अनुकूल उसी दूरी को जाने की तुलना में $1$ घंटा अधिक लेती है, तो धारा की गति ज्ञात कीजिए।
   The speed of a boat in still water is $18$ km/hr. It takes $1$ hour more to go $24$ km upstream than to return downstream to the same spot. Find the speed of the stream.

✅ Summary (सारांश)

यह अध्याय रैखिक और द्विघात समीकरणों के प्रमुख पहलुओं को कवर करता है:
This chapter covers the key aspects of Linear and Quadratic Equations:

• रैखिक समीकरणों की परिभाषा और एक या दो चर में उन्हें हल करने की विधियाँ (Definition of linear equations and methods to solve them in one or two variables)
• दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए हल की शर्तें (Conditions for solutions of a pair of linear equations in two variables)
• द्विघात समीकरणों की परिभाषा और गुणनखंड तथा सूत्र विधियों से उन्हें हल करना (Definition of quadratic equations and solving them by factorization and formula methods)
• विविक्तकर के आधार पर मूलों की प्रकृति (Nature of roots based on the discriminant)
• मूलों और गुणांकों के बीच संबंध (Relationship between roots and coefficients)
• शाब्दिक समस्याओं में समीकरणों का अनुप्रयोग (Application of equations in word problems)

इन समीकरणों को हल करने में गति और सटीकता प्राप्त करने के लिए नियमित अभ्यास और अवधारणाओं की स्पष्ट समझ महत्वपूर्ण है।
Regular practice and a clear understanding of the concepts are crucial to achieve speed and accuracy in solving these equations.