📖 Number System (संख्या प्रणाली)
नमस्ते छात्रों! SSC की तैयारी में Quantitative Aptitude (मात्रात्मक योग्यता) एक बहुत ही महत्वपूर्ण सेक्शन है। और इस सेक्शन की नींव है Number System (संख्या प्रणाली)। यह सिर्फ एक अध्याय नहीं है, बल्कि गणित के अन्य अध्यायों को समझने और तेज़ी से हल करने का आधार है।
Hello students! In SSC preparation, Quantitative Aptitude (मात्रात्मक योग्यता) is a very important section. And the foundation of this section is the Number System (संख्या प्रणाली). This is not just a chapter, but the basis for understanding and solving other math chapters quickly.
इस अध्याय में हम संख्याओं के विभिन्न प्रकार, उनके गुणधर्म और उन पर आधारित महत्वपूर्ण नियमों को सीखेंगे। यह SSC CGL, CHSL, MTS, CPO जैसे सभी परीक्षाओं के लिए अत्यंत उपयोगी है।
In this chapter, we will learn about different types of numbers, their properties, and important rules based on them. This is extremely useful for all SSC exams like CGL, CHSL, MTS, CPO.
1. Types of Numbers (संख्याओं के प्रकार)
संख्याओं को उनके गुणों के आधार पर विभिन्न श्रेणियों में बांटा गया है। आइए, एक-एक करके इन्हें समझते हैं।
Numbers are categorized into different types based on their properties. Let's understand them one by one.
- Natural Numbers (प्राकृतिक संख्याएँ): Counting numbers. वे संख्याएँ जिनका उपयोग हम गिनने के लिए करते हैं। $1, 2, 3, 4, ...$
- Whole Numbers (पूर्ण संख्याएँ): Natural numbers including zero. प्राकृतिक संख्याओं में शून्य (0) को शामिल करने पर पूर्ण संख्याएँ बनती हैं। $0, 1, 2, 3, ...$
- Integers (पूर्णांक): All whole numbers and their negatives. सभी पूर्ण संख्याएँ और उनकी नकारात्मक संख्याएँ। $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$
- Rational Numbers (परिमेय संख्याएँ): Numbers that can be expressed as a fraction $p/q$, where $q \neq 0$. वे संख्याएँ जिन्हें $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $q \neq 0$ हो। e.g., $1/2, 0.75, 5$ (which is $5/1$), $-3/4$.
- Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएँ): Numbers that cannot be expressed as a fraction $p/q$. वे संख्याएँ जिन्हें $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। e.g., $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, 0.101101110...$
- Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ): All rational and irrational numbers. सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।
- Even Numbers (सम संख्याएँ): Integers divisible by 2. वे पूर्णांक जो 2 से पूर्णतः विभाजित होते हैं। e.g., $..., -4, -2, 0, 2, 4, ...$
- Odd Numbers (विषम संख्याएँ): Integers not divisible by 2. वे पूर्णांक जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं होते हैं। e.g., $..., -3, -1, 1, 3, 5, ...$
- Prime Numbers (अभाज्य संख्याएँ): Natural numbers greater than 1 that have exactly two distinct positive divisors: 1 and itself. 1 से बड़ी वे प्राकृतिक संख्याएँ जिनके केवल दो अलग-अलग धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और वह संख्या स्वयं। e.g., $2, 3, 5, 7, 11, ...$
Note (ध्यान दें): $2$ is the only even prime number. $1$ is neither prime nor composite.
- Composite Numbers (भाज्य संख्याएँ): Natural numbers greater than 1 that are not prime. 1 से बड़ी वे प्राकृतिक संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं (जिनके दो से अधिक भाजक होते हैं)। e.g., $4, 6, 8, 9, 10, ...$
- Co-prime Numbers (सह-अभाज्य संख्याएँ): A pair of integers whose greatest common divisor (GCD) is 1. पूर्णांकों का एक जोड़ा जिनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 होता है। e.g., $(2, 3), (4, 9), (7, 15)$.
Note (ध्यान दें): Co-prime numbers themselves don't have to be prime.
2. Face Value & Place Value (अंकीय मान और स्थानीय मान)
किसी संख्या में अंक का अंकीय मान और स्थानीय मान उसके महत्व को दर्शाता है।
In a number, the face value and place value of a digit indicate its significance.
- Face Value (अंकीय मान): The face value of a digit is the digit itself. यह अंक का अपना मान होता है, चाहे वह किसी भी स्थान पर हो।
e.g., In the number $543$, the face value of $4$ is $4$.
- Place Value (स्थानीय मान): The place value of a digit depends on its position in the number. यह अंक का मान उसके स्थान (इकाई, दहाई, सैकड़ा, आदि) के आधार पर होता है।
e.g., In the number $543$, the place value of $4$ is $4 \times 10 = 40$. The place value of $5$ is $5 \times 100 = 500$.
Example (उदाहरण):
Find the difference between the place value and face value of $7$ in the number $6789$.
संख्या $6789$ में $7$ के स्थानीय मान और अंकीय मान का अंतर ज्ञात कीजिए।
Solution (समाधान):
Place value of $7$ = $7 \times 100 = 700$
Face value of $7$ = $7$
Difference = $700 - 7 = 693$.
3. Divisibility Rules (विभाज्यता के नियम)
ये नियम हमें बिना भाग किए ही यह जानने में मदद करते हैं कि कोई संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाजित होगी या नहीं।
These rules help us determine whether a number is divisible by another number without actually performing division.
- By 2: If the last digit is even ($0, 2, 4, 6, 8$). यदि अंतिम अंक सम हो। (e.g., $458, 120$)
- By 3: If the sum of the digits is divisible by 3. यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। (e.g., $123 \rightarrow 1+2+3=6$, divisible by 3)
- By 4: If the number formed by the last two digits is divisible by 4. यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। (e.g., $1324 \rightarrow 24$ is divisible by 4)
- By 5: If the last digit is 0 or 5. यदि अंतिम अंक 0 या 5 हो। (e.g., $560, 785$)
- By 6: If the number is divisible by both 2 and 3. यदि संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो। (e.g., $72 \rightarrow$ even and $7+2=9$ divisible by 3)
- By 8: If the number formed by the last three digits is divisible by 8. यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो। (e.g., $9128 \rightarrow 128$ is divisible by 8)
- By 9: If the sum of the digits is divisible by 9. यदि अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। (e.g., $819 \rightarrow 8+1+9=18$, divisible by 9)
- By 10: If the last digit is 0. यदि अंतिम अंक 0 हो। (e.g., $230$)
- By 11: If the difference between the sum of digits at odd places and the sum of digits at even places is 0 or divisible by 11. यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर 0 या 11 से विभाज्य हो।
(e.g., $1331 \rightarrow (1+3) - (3+1) = 4-4=0$, divisible by 11)
- By 12: If the number is divisible by both 3 and 4. यदि संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य हो।
- By 25: If the number formed by the last two digits is 00, 25, 50, or 75. यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $00, 25, 50$, या $75$ हो।
Example (उदाहरण):
If $78X34$ is divisible by $9$, find the value of $X$.
यदि $78X34$, $9$ से विभाज्य है, तो $X$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution (समाधान):
For divisibility by 9, sum of digits must be divisible by 9.
अंकों का योग $= 7+8+X+3+4 = 22+X$.
For $(22+X)$ to be divisible by $9$, $X$ can be $5$ (as $22+5=27$). So, $X=5$.
4. Unit Digit (इकाई अंक)
किसी संख्या या किसी बड़े गुणनफल/घात के परिणाम में अंतिम अंक या इकाई अंक ज्ञात करना।
Finding the last digit or unit digit in a number or the result of a large product/power.
- Digits 0, 1, 5, 6: The unit digit of any power of these digits is always the digit itself. इन अंकों की किसी भी घात का इकाई अंक हमेशा वही अंक होता है। (e.g., $5^{23}$ ends in $5$, $6^{100}$ ends in $6$)
- Digits 4, 9:
- For $4$: $4^1 = 4$, $4^2 = 16 \rightarrow 6$, $4^3 = 64 \rightarrow 4$. Cycle of $4, 6$. If power is odd, unit digit is $4$. If power is even, unit digit is $6$.
- For $9$: $9^1 = 9$, $9^2 = 81 \rightarrow 1$, $9^3 = 729 \rightarrow 9$. Cycle of $9, 1$. If power is odd, unit digit is $9$. If power is even, unit digit is $1$.
- Digits 2, 3, 7, 8: These digits have a cyclicity of $4$. घात को $4$ से विभाजित करें और शेषफल का उपयोग करें। यदि शेषफल $0$ हो, तो घात को $4$ मानें।
- For $2$: $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16 \rightarrow 6$. Cycle: $2, 4, 8, 6$.
- For $3$: $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27 \rightarrow 7, 3^4=81 \rightarrow 1$. Cycle: $3, 9, 7, 1$.
- For $7$: $7^1=7, 7^2=49 \rightarrow 9, 7^3=343 \rightarrow 3, 7^4=2401 \rightarrow 1$. Cycle: $7, 9, 3, 1$.
- For $8$: $8^1=8, 8^2=64 \rightarrow 4, 8^3=512 \rightarrow 2, 8^4=4096 \rightarrow 6$. Cycle: $8, 4, 2, 6$.
Example (उदाहरण):
Find the unit digit of $2^{103}$.
$2^{103}$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
Solution (समाधान):
Divide the power $103$ by $4$: $103 \div 4 = 25$ remainder $3$.
तो, $2^{103}$ का इकाई अंक वही होगा जो $2^3$ का है, यानी $8$.
5. Remainder Theorem (शेषफल प्रमेय)
जब एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो जो बचता है वह शेषफल कहलाता है। शेषफल प्रमेय हमें बड़े विभाजनों में शेषफल ज्ञात करने में मदद करता है।
When one number is divided by another, what remains is called the remainder. The Remainder Theorem helps us find remainders in large divisions.
- Basic Concept: Dividend = Divisor $\times$ Quotient + Remainder.
भाज्य = भाजक $\times$ भागफल + शेषफल.
The remainder is always less than the divisor. शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
- Properties (गुणधर्म):
- $(A+B)/N$ का शेषफल $ = (\text{Rem}(A/N) + \text{Rem}(B/N))/N$ का शेषफल।
- $(A \times B)/N$ का शेषफल $ = (\text{Rem}(A/N) \times \text{Rem}(B/N))/N$ का शेषफल।
- Negative Remainder (नकारात्मक शेषफल): Sometimes useful. e.g., $17 \div 5$: remainder is $2$. Or, we can say $17 = 5 \times 4 - 3$, so remainder is $-3$. When you get a negative remainder, add the divisor to it: $-3 + 5 = 2$.
Example 1 (उदाहरण 1):
Find the remainder of $(17 \times 23) \div 5$.
$(17 \times 23) \div 5$ का शेषफल ज्ञात कीजिए।
Solution (समाधान):
Rem$(17/5) = 2$
Rem$(23/5) = 3$
Now, Rem$((2 \times 3)/5)$ = Rem$(6/5) = 1$.
अतः शेषफल $1$ है।
Example 2 (उदाहरण 2):
Find the remainder of $2^{100} \div 7$.
$2^{100} \div 7$ का शेषफल ज्ञात कीजिए।
Solution (समाधान):
We look for powers of 2 that are close to a multiple of 7.
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$. When $8$ is divided by $7$, the remainder is $1$.
So, $2^{100} = (2^3)^{33} \times 2^1 = (8)^{33} \times 2$.
Rem$(8^{33} \times 2)/7 = \text{Rem}((1)^{33} \times 2)/7 = \text{Rem}(1 \times 2)/7 = \text{Rem}(2/7) = 2$.
अतः शेषफल $2$ है।
यह शेषफल प्रमेय का एक छोटा सा परिचय है। इसमें कुछ और उन्नत अवधारणाएँ भी हैं जैसे फर्मा का छोटा प्रमेय (Fermat's Little Theorem) और यूलर का टोटिएंट प्रमेय (Euler's Totient Theorem) जो कुछ विशेष प्रकार की घातों के शेषफल ज्ञात करने में सहायक होती हैं। ये उन्नत स्तर के प्रश्नों के लिए उपयोगी होती हैं।
अभ्यास प्रश्न (Practice Problems)
अपनी समझ को परखने के लिए इन प्रश्नों को हल करें।
Solve these problems to check your understanding.
- संख्या $34567$ में $5$ के स्थानीय मान और अंकीय मान का योग क्या है?
What is the sum of the place value and face value of $5$ in the number $34567$?
- सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन सी है?
What is the smallest prime number?
- यदि संख्या $4Y81$ $11$ से विभाज्य है, तो $Y$ का मान क्या है?
If the number $4Y81$ is divisible by $11$, what is the value of $Y$?
- $(24^{15} \times 32^{17})$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
Find the unit digit of $(24^{15} \times 32^{17})$.
- जब $123 \times 456 \times 789$ को $10$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल क्या होगा?
What will be the remainder when $123 \times 456 \times 789$ is divided by $10$?
✅ Summary (सारांश)
इस अध्याय में हमने संख्या प्रणाली के मूल सिद्धांतों को कवर किया है:
In this chapter, we have covered the fundamentals of the Number System:
- संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers)
- अंकीय मान और स्थानीय मान (Face Value and Place Value)
- विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)
- इकाई अंक (Unit Digit)
- शेषफल प्रमेय के बुनियादी सिद्धांत (Basic principles of Remainder Theorem)
यह केवल शुरुआत है। इन अवधारणाओं पर लगातार अभ्यास करें। Number System के बिना SSC Maths में महारत हासिल करना असंभव है।
This is just the beginning. Practice these concepts consistently. Mastering SSC Maths is impossible without a strong understanding of the Number System.
