Quantitative Aptitude (SSC Maths Full Course)

⚙️ HCF & LCM (महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य)

Number System के बाद, HCF (Highest Common Factor) और LCM (Least Common Multiple) SSC की परीक्षाओं का एक और महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। ये सिर्फ गणितीय अवधारणाएं नहीं हैं, बल्कि रोजमर्रा की जिंदगी में भी इनका उपयोग होता है, जैसे चीजों को समान समूहों में बांटना या किसी घटना के दोबारा एक साथ होने का समय निर्धारित करना।

Following the Number System, HCF (Highest Common Factor) and LCM (Least Common Multiple) are another crucial part of SSC exams. These are not just mathematical concepts but are also used in daily life, such as dividing items into equal groups or determining when an event will occur together again.

इस अध्याय में HCF और LCM की परिभाषा, उन्हें ज्ञात करने की विभिन्न विधियाँ, उनके बीच का संबंध, भिन्नों का HCF/LCM और उनके व्यावहारिक अनुप्रयोग शामिल हैं।
This chapter covers the definitions of HCF and LCM, various methods to find them, their relationship, HCF/LCM of fractions, and their practical applications.

1. Factors and Multiples (गुणनखंड और गुणज)

HCF और LCM को समझने से पहले, गुणनखंड (Factors) और गुणज (Multiples) की अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण है।
Before understanding HCF and LCM, it's important to grasp the concepts of Factors and Multiples.

• Factors (गुणनखंड): A factor of a number is a number that divides it exactly, without leaving any remainder.
  किसी संख्या का गुणनखंड वह संख्या होती है जो उसे पूरी तरह विभाजित कर देती है, बिना कोई शेषफल छोड़े।
  Example (उदाहरण): Factors of $12$ are $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
• Multiples (गुणज): A multiple of a number is the product of that number and any other integer.
  किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो उस संख्या को किसी अन्य पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त होती है।
  Example (उदाहरण): Multiples of $5$ are $5, 10, 15, 20, ...$

2. HCF (Highest Common Factor / महत्तम समापवर्तक)

HCF को GCD (Greatest Common Divisor) भी कहा जाता है।
HCF is also known as GCD (Greatest Common Divisor).

• Definition (परिभाषा): The HCF of two or more numbers is the largest number that divides each of them exactly.
  दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या है जो उन सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित कर सकती है।
  Example (उदाहरण): HCF of $12$ and $18$. Factors of $12: \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. Factors of $18: \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$. Common factors are $1, 2, 3, 6$. The highest common factor is $6$.

Methods to Find HCF (HCF ज्ञात करने की विधियाँ)

• a) Prime Factorization Method (अभाज्य गुणनखंड विधि):
  1. Express each number as a product of its prime factors. (प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।)
  2. Identify the common prime factors. (सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की पहचान करें।)
  3. For each common prime factor, take the lowest power it appears in the factorizations. (प्रत्येक सामान्य अभाज्य गुणनखंड के लिए, सबसे छोटी घात लें।)
  4. Multiply these lowest powers to get the HCF. (इन सबसे छोटी घातों को गुणा करके HCF प्राप्त करें।)

  Example (उदाहरण): Find HCF of $36$ and $48$.

  $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
  $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$
  Common prime factors are $2$ and $3$.
  Lowest power of $2$ is $2^2$. Lowest power of $3$ is $3^1$.
  HCF = $2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$.

• b) Division Method (भाग विधि):
  1. Divide the larger number by the smaller number. (बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें।)
  2. Take the remainder as the new divisor and the previous divisor as the new dividend. (शेषफल को नया भाजक और पिछले भाजक को नया भाज्य मानें।)
  3. Repeat the process until the remainder is zero. The last divisor is the HCF. (इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक HCF होगा।)

  Example (उदाहरण): Find HCF of $36$ and $48$.

  $48 \div 36$: Quotient $1$, Remainder $12$.
  Now, divide $36$ by $12$: Quotient $3$, Remainder $0$.
  The last divisor is $12$. So, HCF = $12$.

3. LCM (Least Common Multiple / लघुत्तम समापवर्त्य)

LCM दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा धनात्मक गुणज होता है।
The LCM of two or more numbers is the smallest positive number that is a multiple of all the given numbers.

• Definition (परिभाषा): The LCM of two or more numbers is the smallest positive number that is a multiple of each of them.
  दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो उन सभी संख्याओं का गुणज हो।
  Example (उदाहरण): LCM of $4$ and $6$. Multiples of $4: \{4, 8, 12, 16, 20, 24, ...\}$. Multiples of $6: \{6, 12, 18, 24, ...\}$. Common multiples are $12, 24, ...$. The least common multiple is $12$.

Methods to Find LCM (LCM ज्ञात करने की विधियाँ)

• a) Prime Factorization Method (अभाज्य गुणनखंड विधि):
  1. Express each number as a product of its prime factors. (प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।)
  2. Identify all distinct prime factors (common and uncommon). (सभी अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों (सामान्य और असामान्य) की पहचान करें।)
  3. For each distinct prime factor, take the highest power it appears in the factorizations. (प्रत्येक अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड के लिए, सबसे बड़ी घात लें।)
  4. Multiply these highest powers to get the LCM. (इन सबसे बड़ी घातों को गुणा करके LCM प्राप्त करें।)

  Example (उदाहरण): Find LCM of $36$ and $48$.

  $36 = 2^2 \times 3^2$
  $48 = 2^4 \times 3^1$
  Distinct prime factors are $2$ and $3$.
  Highest power of $2$ is $2^4$. Highest power of $3$ is $3^2$.
  LCM = $2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144$.

• b) Common Division Method (सामूहिक भाग विधि):
  1. Write the given numbers in a row. (दी गई संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें।)
  2. Divide by a common prime factor until no two numbers have a common prime factor. (एक सामान्य अभाज्य गुणनखंड से तब तक विभाजित करें जब तक कि किन्हीं दो संख्याओं में कोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड न हो।)
  3. Multiply all the divisors and the remaining numbers to get the LCM. (सभी भाजकों और शेष संख्याओं को गुणा करके LCM प्राप्त करें।)

  Example (उदाहरण): Find LCM of $36$ and $48$.

  2 | 36, 48
  2 | 18, 24
  3 | 9, 12
    | 3,  4
            

  LCM = $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.

4. Relation between HCF and LCM (HCF और LCM के बीच संबंध)

यह दो संख्याओं के HCF और LCM के बीच एक बहुत ही महत्वपूर्ण संबंध है:
This is a very important relationship between the HCF and LCM of two numbers:

5. HCF and LCM of Fractions (भिन्नों का HCF और LCM)

भिन्नों का HCF और LCM ज्ञात करने के लिए विशेष नियम होते हैं।
There are specific rules for finding the HCF and LCM of fractions.

• HCF of Fractions (भिन्नों का HCF):
  HCF of Fractions = $\frac{\text{HCF of Numerators}}{\text{LCM of Denominators}}$
  भिन्नों का HCF = $\frac{\text{अंशों का HCF}}{\text{हरों का LCM}}$
• LCM of Fractions (भिन्नों का LCM):
  LCM of Fractions = $\frac{\text{LCM of Numerators}}{\text{HCF of Denominators}}$
  भिन्नों का LCM = $\frac{\text{अंशों का LCM}}{\text{हरों का HCF}}$

6. Applications of HCF & LCM in Problems (HCF और LCM के अनुप्रयोग)

प्रतियोगी परीक्षाओं में HCF और LCM से संबंधित प्रश्न सीधे नहीं पूछे जाते, बल्कि उनकी अवधारणाओं का उपयोग करते हुए वर्ड प्रॉब्लम (Word Problems) दिए जाते हैं।
In competitive exams, HCF and LCM related questions are not asked directly, but word problems are given that utilize their concepts.

• HCF related problems (HCF संबंधित समस्याएँ):
  • When the question includes terms like "greatest number", "maximum capacity", "equal size groups", "longest length".
  • Example: Finding the greatest number that divides $X, Y, Z$ exactly.
  • Example: Finding the greatest number that divides $X, Y, Z$ leaving the same remainder.
• LCM related problems (LCM संबंधित समस्याएँ):
  • When the question includes terms like "least number", "minimum", "when bells will ring together again", "wheels will meet again", "how many rounds together".
  • Example: Finding the least number divisible by $X, Y, Z$.
  • Example: Finding the least number which when divided by $X, Y, Z$ leaves the same remainder in each case.

अभ्यास प्रश्न (Practice Problems)

अपनी समझ को मजबूत करने के लिए इन प्रश्नों को हल करें।
Solve these problems to strengthen your understanding.

1. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो $24, 60$ और $84$ को पूर्णतः विभाजित कर सके।
   Find the greatest number that can divide $24, 60,$ and $84$ exactly.
2. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे $12, 15$ और $18$ से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में कोई शेषफल न बचे।
   Find the least number which when divided by $12, 15,$ and $18$ leaves no remainder in each case.
3. दो संख्याओं का गुणनफल $2160$ है और उनका HCF $12$ है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।
   The product of two numbers is $2160$ and their HCF is $12$. Find their LCM.
4. भिन्नों $2/3, 4/5$ और $6/7$ का LCM ज्ञात कीजिए।
   Find the LCM of the fractions $2/3, 4/5,$ and $6/7$.
5. तीन ट्रैफिक लाइटें $48$ सेकंड, $72$ सेकंड और $108$ सेकंड के अंतराल पर बदलती हैं। यदि वे सभी सुबह $7:00$ बजे एक साथ बदलें, तो वे अगली बार कब एक साथ बदलेंगी?
   Three traffic lights change after $48$ seconds, $72$ seconds, and $108$ seconds respectively. If they all change simultaneously at $7:00$ AM, at what time will they change simultaneously again?

✅ Summary (सारांश)

इस अध्याय में HCF और LCM के महत्वपूर्ण पहलुओं को कवर किया गया है:
This chapter has covered the important aspects of HCF and LCM:

• गुणनखंड और गुणज की अवधारणा (Concept of Factors and Multiples)
• HCF और LCM की परिभाषा और उन्हें ज्ञात करने की विधियाँ (Definition and Methods to find HCF and LCM)
• दो संख्याओं के HCF और LCM के बीच संबंध ($A \times B = \text{HCF} \times \text{LCM}$)
• भिन्नों का HCF और LCM (HCF and LCM of Fractions)
• HCF और LCM के अनुप्रयोग (Applications of HCF and LCM in problems)

HCF और LCM के प्रश्न अक्सर SSC परीक्षाओं में पूछे जाते हैं। इन अवधारणाओं को अच्छी तरह से समझें और विभिन्न प्रकार के प्रश्नों का अभ्यास करें।
HCF and LCM questions are frequently asked in SSC exams. Understand these concepts thoroughly and practice various types of problems.